線性代數 Quiz #1

第一題

給定一個線性系統：

\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=2 \\ x_{3}=5 \\ x_{4}=-1 \end{cases}

第二題

考慮一個增廣矩陣形式如下的線性系統：

\left[\begin{matrix} 2 & 4 & -6 \\ 1 & -1 & -9 \\ 1 & 3 & \alpha \end{matrix} \;\middle|\; \begin{matrix} -2 \\ 2 \\ \beta \end{matrix}\right]

第三題

使用高斯-約當消去法（Gauss-Jordan reduction）求解此系統：(15%)

\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}=6 \\ 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=-3 \\ x_{1}+x_{2}-4x_{3}=7 \end{cases}

（你必須寫出增廣矩陣 (5%)，求出其簡約列梯形矩陣 (5%)，並求出解答 (5%)。）

第四題

設 $Ax=b$ 為一個線性系統，其增廣矩陣 $[A \mid b]$ 的簡約列梯形矩陣（Reduced Row Echelon Form）為：

\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 7 & 0 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

設 $A=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$，且：

a_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad a_{4}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -3 \\ 5 \end{bmatrix}